《高等数学》课程课时教案
第二篇：高等数学微积分总结
积 分
整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对
积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.
一、不定积分
不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种
方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)
二、定积分
1.定义式:
?
ba
f(x)dx
2.定义域:一维区间,例如[a,b] 3.性质:见课本P229-P232
特殊:若f?1,则
?
ba
f(x)dx?b?a,即区间长度.
ba
ba
4.积分技巧:奇偶对称性.
注意:定积分中积分变量可以任意替换即 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义:
?
f(x)dx?
?
f(y)dy,而不定积分不具有这种性质.
?
ba
f(x)dx表示以f(x)为顶与x轴所夹区域面积的代数和(注意如f(x)?0,则面积为负);
其他应用:如f(x)表示截面积,则积分为体积;
平面弧长 三、二重积分 1.定义式:
?
ba
f(x等.
??
Dxy
f(x,y)d?
2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P77 特殊: 若f?1,则4.坐标系:
①直角坐标系:X型区域,Y型区域
②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r,积分时一般先确定?的范围,再确定r的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用:
二重积分的几何意义:若f(x,y)?0,则其他应用:求曲面z?
z(x,y)的面积四、三重积分 1.定义式
??
Dxy
f(x,y)dxdy?S,即S为Dxy的面积.
??
Dxy
f(x,y)dxdy表示以f(x,y)为顶以Dxy为底的曲顶柱体体积;
??
Dxy
????
f(x,y,z)dv
2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若f?1,则
????
f(x,y,z)dv?V,其中V表示?的体积.
4.坐标系:
①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用)
②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;
③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先?,后?,最后 r.
5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: f(x,y,z)表示密度,则五、第一类曲线积分
????
f(x,y,z)dv为物体质量.(不考虑几何意义)
1.定义式:
?
L
f(x,y)ds(二维) | ?f(x,y,z)ds(三维)
L
2.定义域:平面曲线弧 | 空间曲线弧 3.性质:见课本P128 特殊: f?1则
?
L
fds?s,s表示曲线弧长.
b
f(?(t),?(t L:x??(t),y??(t),t?[a,b]
4.计算公式(二维为例):
?
L
f(x,y)ds?
?
a
类似可推出L:y?y(x),x?[a,b]的公式.注意化为定积分时下限小于上限. 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心; 6.几何应用:见上3. 六、第二类曲线积分 1.定义式:
?
L
P(x,y)dx?Q(x,y)dy(二维)
?
L
P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dy(三维)
2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维) 3.性质:见课本P135 4.计算公式:
?
L
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?
ba
[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt
????????????????????????????????????
?
dc
[P(x,f(x))?Q(x,f(x))f?(x)]dx
注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.
5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关. 不能使用奇偶对称性. 6.应用:力做功.
七、第一类曲面积分 1.定义式:
???
f(x,y,z)dS
2.定义域:空间曲面
注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例. 3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似 特殊: f?1则4.计算公式
:
???
f(x,y,z)dS?S,S表示曲线面积.
???
f(x,y,z)dS?
??
Dxy
f(x,y,z(x,y类似可得在另两个曲面上的投影公式.
注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标. 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心. 6.几何应用:见上3. 八、第二类曲面积分 1.定义式
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
2.定义域:有向空间曲面 3.性质:见课本P162 4.计算公式:
???R(x,y,z)dxdy????
Dxy
R(x,y,z(x,y))dxdy,类似可得另两个.
5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.
注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封 闭.
6.应用:求流量,磁通量等. 奇偶对称性:
定积分:若积分区间关于原点对称,例如[?a,a] 若f(x)关于x为奇函数,则
a?a
?
f(x)dx?0
若f(x)关于x为偶函数,则
?
a?a
f(x)dx?2?f(x)dx
x(y)?x(y)
a
二重积分:若积分区域D关于y轴对称,记D1为x?0的部分 若f(x,y)关于x为奇函数,则
??
D
f(x,y)dxdy?
?dy?
x(y)0
f(x,y)dx?0
若f(x,y)关于x为偶函数,则
??
D
f(x,y)dxdy?
?dy?
x(y)?x(y)
f(x,y)dx?2?dy?f(x,y)dx?2??
D1
f(x,y)dxdy
同样可以得到积分区域D关于x轴对称时, f(x,y)关于y为奇、偶函数的公式. 三重积分: 若积分区域?关于xoy面对称,记?1为z?0的部分 若f(x,y,z)关于z为奇函数,则
????
f(x,y,z)dxdydz?
??dxdy?
z(x,y)?z(x,y)
f(x,y,z)dz?0
若f(x,y,z)关于z为偶函数,则
????
f(x,y,z)dxdydz?
z(x,y)0
??dxdy?
z(x,y)?z(x,y)
f(x,y,z)dz
?1
???????????2??dxdy?f(x,y,z)dz?2???
f(x,y,z)dxdydz
同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况. 例题:P123#1(1)(2) P124#2(4)
第一类曲线积分:若积分曲线L关于y轴对称,记L1为x?0的部分 若f(x,y)关于x为奇函数:
?
若f(x,y)关于x为偶函数:?
L
f(x,y)ds?0
f(x,y)ds?2?
L1
L
f(x,y)ds
同样可以得到曲线关于x轴对称的情况.
第一类曲面积分:若积分曲面?关于xoy面对称,记?1为z?0的部分,
???
若f(x,y,z)关于z为偶函数:??
若f(x,y,z)关于z为奇函数:
?
f(x,y,z)dz?0
f(x,y,z)dz?2??
?1
f(x,y,z)dz
同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况. 例题:课本P158#6(3),P184#2
变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，
使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如
x?y?z?R,x?y?z?1等,此时
2222
???f(y)dS????f(z)dS
例题1:I????xds,其中?为球面x?y
f(x)dS?
2
???
22
?z?a被平面x?y?z?0所截的曲线.
22
例题2: I?
???
?
(x?y)dS,其中?为球面x2?y2?z2?2(x?y?z).
22
循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且P,Q,R中x,y,z依次替换,即
x?y,y?z,z?x后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?3???Rdxdy
例题:课本168页#3(4)
质心:适用重积分,第一类积分.
请同学们思考如何区别各种积分?(定义域) 区别:以下两个例题应该怎样算?
???
?
(x?y?z)dS,???(x?y?z)dxdydz,
?
2
2
2
2
2
2
2
2
222222
其中?:x?y?z?R,?:x?y?z?R