《基本不等式》教学反思
桐城八中 吴承生
本节课的设计思路是探究它作为一种程序性的工具，用于求最值问题，因而采用问题链的形式，从基本不等式的两种形式应用入手，用常数值过渡到字母变量的过程，探究两个字母变量的和与积关系与最值的联系，目的是使学生在数学活动中掌握“和定积有最大值”、“积定和有最小值”这一最值定理。然后，设置三类题目：（1）没有考虑正值条件；（2）积不能构成定值；（3）不能取到等号成立的。通过学生对三个小题的辨析，归纳出应用基本不等式求最值的必须满足的三个前提条件“一正二定三相等”，最后，通过例题、变式练习题进行强化数学应用，让学生掌握配凑方法构造定值，这也是本节课的关键和难点。
一．教学目标
（1）知识与技能
①从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式；
②会用基本不等式解决简单的最值问题.
（2）过程与方法
①借助“拼图游戏”， 通过操作、观察、抽象、概括学会从不同角度探索基本不等式,明确其简单应用；
②渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.
（3）情感、态度与价值观
通过自主探究活动,获得发现的成就感, 激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.
二． 教学重点和难点
1. 教学重点
从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式.
2. 教学难点
掌握基本不等式，会用基本不等式求最大值和最小值.
三、 教法设计
1. 采用启发式教学法创设问题情境，激发学生尝试活动.
2. 多媒体辅助教学，使用多媒体辅助进行直观演示启发学生思考.
3. 问题引导，探究基本不等式.
4. 联系实际问题，讲练结合，同时采用变式教学巩固应用，加深理解.
四、 学法指导
建构主义学习理论认为, 学习是学生积极主动建构知识的过程, 学习应该与学生熟悉的背景相联系. 在教学中, 让学生在问题情境中, 经历知识的形成和发展, 通过观察、探索、交流、反思参与学习, 认识和理解数学知识, 学会学习, 发展能力.
五、 教学流程
（一）拼图游戏，认识赵爽弦图
问题1：你能用四块相同的三角板拼成一个正方形吗？
这个环节，以基本不等式的几何背景入手，让学生四人一个小组，用准备好的四块相同的三角板进行拼图游戏. 从而得到赵爽弦图的模型，并适时地介绍我国三国时期伟大的平民数学家及由他创设的弦图.
设计意图：以趣引思，激发学生发现新知的欲望，让学生对赵爽及赵爽弦图记忆深刻，并为探究基本不等式作好铺垫.
（二）数形结合，探究基本不等式
1. 问题引导 得到重要不等式
问题2：如果设直角三角形的两条直角边分别为a、b.
你能用a、b来表示正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和吗？
问题3：正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和之间有怎样的大小关系呢？
通过这两个简单的问题，学生很快得到正方形的面积大于四个直角三角形的面积和，但对于等号是否成立还有疑惑，所以我利用多媒体进行动画演示，对为什么当且仅当a=b时取等号给出了直观的解释. 并且让学生用代数的方法来证明这个不等式. 从而得到本节课的第一个结论.
设计意图：由学生自己拼成的“弦图”出发，由“形”及“数”，得到了重要不等式，并且用之前学过的“作差法”证明了这个不等式，体验了成功的喜悦，同时也体现了数与形的完美结合.
2. 思考深入 得到基本不等式
思考：如果当a>0,b>0时能得到什么结论呢？学生很快得到答案，从而得到本节课的第二个结论：
设计意图：通过替换，由重要不等式得到了本节课的主要内容：基本不等式. 引导学生体验数学结论的探究过程，通过对基本不等式定理的产生过程的学习使学生理解数学是自然的，且是严密的.
3. 几何探究解释基本不等式
1. 如图, AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b, 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD. 则半径OD =______, 半弦CD =______.
2. 比较CD与OD的大小.
这个环节是通过“半弦≤半径”这一几何背景来解释基本不等式.
设计意图：通过几何背景，探索基本不等式，运用动画演示，对基本不等式给出更直观的几何解释.
4. 归纳小结 剖析两个不等式
根据这样三个步骤，我们得到了两个结论：
结论1：.a2+b2?2ab
结论2（基本不等式）：
结论1的这个重要不等式是两个数的平方和与积的不等关系，而结论2的基本不等式是指两个正数的和与积的不等关系. 在实际问题中，如果涉及到两个正数的和与积，就可以尝试用基本不等式来解决.
设计意图：对两个不等式结构上加以比较，熟悉两个不等式的结构特点.
（三）联系实际，应用基本不等式
例题. 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问该矩形的
长、宽各为多少时, 所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?
变式. 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的
长、宽各为多少时, 菜园的面积最大. 最大面积是多少？
这是课本的例题，我作了板演示范，分析当涉及到两个正数的和与积时，可以试图采用基本不等式解决. 并对基本不等式进行变形，明确两个正数积为定值时，和有最小值，当然前提是等号必须能够取到.
对于变式，让学生上台板演，同样对基本不等式进行变形，明确两个正数和为定值时，积有最大值，并检验等号能否取到.
设计意图：从教材编排角度讲是在理解了基本不等式之后的一个简单的应用. 引导学生将问题的文字语言转化为数学语言，然后根据数学语言的结构特点灵活运用基本不等式.
（四）熟练应用，加深理解不等式
设计意图：
练习1是对基本不等式的简单应用：两个正数，当积为定值时，和有最小值，前提等号必须取到.
变式1主要 强调应用基本不等式时两个量都必须是正数，不“正”要变“正”.
变式2强调应用基本不等式时两个量积或和必须是定值，不“定”要变“定”.
设计意图：
练习2强调应用基本不等式时一定要验证等号是否取到.
设计这两个练习及变式是在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生进一步加深对基本不等式的理解，深刻体会应用基本不等式求最值时的条件和方法，培养学生的发散和创新思维.充分认识基本不等式的使用价值.
（五）归纳总结、作业布置
总结：1．这堂课你有哪些收获？
2. 应用基本不等式要注意哪些问题？
通过两个问题引导学生总结归纳本节课的知识点及应用基本不等式时要注意的一些问题
在本节课中，仍有不尽人意的地方：一是在问题情境的问答中，让学生探究得出最值定理结论时，停留时间过短，没有给学生充分的时间思考，充分暴露学生的知识盲点；二是在一道关于“二定”条件辨析的题目挖掘不够，若挖掘充分，效果就是能让学生一眼看上去就能知道可用基本不等式去求最值的情况；三是让学生参与的时间还不够长。
虽然课堂还存在这样或那样的不足，但通过这次培训学习，把握课堂的能力都得到了锻炼，更加清楚地认识到自己的优点与不足，有利于改进今后的教学工作，提高课堂教学效率。
第二篇：作业基本不等式及应用
基本不等式及应用
一、选择题
1．(20##年杭州市第二次教学质量检测)若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最大值为4 B．ab有最小值
C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
解析：由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ＝ ，即＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错，故选C.
答案：C
2．已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
解析：y＝2x＋＝－[(1－2x)＋]＋1，由x<可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋≥2，当且仅当1－2x＝，即x＝0时取等号，取ymax＝－1.
答案：C
3．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cosx＋(0<x<)
C．y＝
D．y＝ex＋－2
解析：选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤－2；
选项B中，cosx≠1，故最小值不等于2；
选项C中，＝＝＋，
当x＝0时，ymin＝.
答案：D
4．(20##年重庆高考)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
解析：∵x＋2y＋2xy＝8，
∴(x＋2y)＋()2≥8，解得x＋2y≥4.
∴x＋2y的最小值为4.
答案：B
5．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是( )
A．5 B．6
C．8 D．9
解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，其半径为2.
因为直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)截圆所得的弦长为4，恰好是圆的直径，
故该直线经过圆心(－1,2)，所以a＋b＝1.
于是，＋＝(＋)(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
答案：D
6．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则的( )
A．最小值为8 B．最大值为8
C．最小值为 D．最大值为
解析：＝＝＝≤.
答案：D
二、填空题
7．若正数a、b满足＋＝2，则a＋b的最小值为________．
解析：由＋＝2，得＋＝1，
a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)(＋)
＝＋2＋＋≥＋2＋2＝.
答案：
8．(20##年山东高考)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：当x>0时，＝≤＝，∴a≥.
答案：[，＋∞)
9．(20##年浙江高考)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析：由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即()2－2－6≥0，
∴(－3)·(＋)≥0.
又∵>0，∴≥3，即xy≥18.
∴xy的最小值为18.
答案：18
三、解答题
10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；
(2)设x>－1，求函数y＝的最值．
解：(1)∵x>0，a>2x，
∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)
≤×[]2＝
当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)∵x>－1，∴x＋1>0.
设x＋1＝z>0，则x＝z－1
∴y＝＝＝z＋＋5
≥2 ＋5＝9.
当且仅当z＝2，即x＝1时上式取等号．
∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．
11．(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：＋≥，并指出等号成立的条件．
(2)求函数f(x)＝＋，x∈(0，)的最小值，指出取最小值时x的值．
解：(1)证明：∵a，b，x，y都是正数，
∴(＋)(x＋y)＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，
当且仅当＝，即bx＝ay时取“＝”．
∴＋≥，当且仅当bx＝ay时等号成立．
(2)∵0<x<，∴0<1－2x<1.
由(1)，知f(x)＝＋≥＝25，
当且仅当3·2x＝2·(1－2x)，
即x＝∈(0，)时取“＝”．
∴x＝时，f(x)的最小值为25.
12．(20##年江苏新海中学3月份调研)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解：(1)由题可得：xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6
S＝(x－4)a＋(x－6)×b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1832－6x－y
(2)解法一：S＝1832－6x－y≤1832－2 ＝1832－480＝1352
当且仅当6x＝y，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1352.
解法二：S＝1800－6x－×＋32＝1832－(6x＋)≤1832－2 ＝1832－480＝1352.
当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值．此时y＝＝45.
解法三：设S＝f(x)＝1832－(6x＋)(x>0)
f′(x)＝－6＝
令f′(x)＝0得x＝40
当0<x<40时，f′(x)>0，当x>40时，f′(x)<0.
∴当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45.
[热点预测]
13．(1)若正数x，y满足log2(x＋y)＝－1，则log(＋)有( )
A．最大值－3 B．最小值－3
C．最小值1 D．最大值1
(2)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
解析：(1)由log2(x＋y)＝－1，得x＋y＝，于是＋＝2(＋)＝4＋2(＋)≥4＋4＝8，当且仅当x＝y＝时，“＝”成立．故log(＋)的最大值为log8，即－3，故选A.
(2)因为a0＝1，令1－x＝0得x＝1，y＝1，所以函数y＝a1－x(a>0，a≠1)过定点A(1,1)，将A(1,1)代入mx＋ny－1＝0(mn>0)得m＋n＝1，所以(＋)×1＝(＋)(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当m＝n＝时，＋取最小值4.
答案：(1)A (2)4
【备选题】
1．(20##年东北三省六校联考)若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞)
D．[－4,4]
解析：∵M＝＝a＋，当a>0时，M≥4；当a<0时，M≤－4，∴M的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故选A.
答案：A
2．(20##年河南五市联考)已知a、b、c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3，则使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围是( )
A．[，2) B．[0,22)
C．[2,23) D．(0,25]
解析：因为a、b都是正数，log9(9a＋b)＝log3，所以log3(9a＋b)＝log3(ab)，故9a＋b＝ab，即＋＝1，所以4a＋b＝(4a＋b)(＋)＝13＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即b＝6a(a＝，b＝15)时等号成立．而c>0，所以要使4a＋b≥c恒成立，则0<c≤25.
答案：D
3．(20##年唐山二模)已知正数x、y、z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝的最小值为( )
A．3 B.
C．4 D．2(＋1)
解析：∵x2＋y2＝1－z2≥2xy，∴S＝≥＝＝＝≥4，∴当z＝，x＝y＝时，Smin＝4.
答案：C
4．(20##年山西运城教学检测)记min{a，b}为a，b两数的最小值，当正数x，y变化时，t＝min{x，}也在变化，则t的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析：由题意可得，①若x≤，则t＝x，t2＝x2≤x·≤＝.故t≤，当且仅当x＝y＝时取“＝”；②若≤x，则t＝，t2＝()2≤≤＝，故t≤，当且仅当x＝y＝时取“＝”．综上可知，当x＝y＝时，t取最大值为.故选B.
答案：B
5．(20##年南通二调)若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则＋的最小值为________．
解析：依题意得＋≥＋≥2 ＝，当且仅当x＝1，＝，即y＝z＝100，t＝10000时取等号，因此＋的最小值是.
答案：
6．(20##年重庆一诊)定义“*”是一种运算，对于任意的x，y，都满足x*y＝axy＋b(x＋y)，其中a，b为正实数，已知1] .
答案：1