《等比数列的前n项和》知识精点
等比数列的概念
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（
）。
等比中项
如果在与
之间插入一个数
，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么
，即
。
等比数列的判定方法
1.定义法：对于数列
，若
，则数列是等比数列。
2．等比中项：对于数列，若
，则数列是等比数列。
等比数列的通项公式
如果等比数列的首项是
，公比是，则等比数列的通项为
。
等比数列的前n项和
1
2
3当
时，
等比数列的性质
1．等比数列任意两项间的关系：如果
是等比数列的第项，
是等差数列的第项，且
，公比为，则有
2.对于等比数列，若
，则
也就是：
。如图所示：
3．若数列
是等比数列，
是其前n项的和，
，那么
，
，
成等比数列。如下图所示：
第二篇：数列知识点总结
一、基本概念
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
?数列的项、数列的项数?
?表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式?
?? ?通项公式：不是所有的数列都有通项公式???符号控制器：如（?1）nn+1
、（?1）??
??递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．
?有穷数列：项数有限的数列．
?
?无穷数列：项数无限的数列．??递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 数列分类?
?递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．?常数列：各项相等的数列．???摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
二、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差．
an?an?1?d,n?2且n?Z，或an?1?an?d,n?1且n?Z
?
?an?a1??n?1?d?am??n?m?d?kn?b?
a?a1an?am?
1、若等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则有?d?n ?
n?1n?m?
an?a1?n??1?d?
?等差中项：三个数a，G，b组成的等差数列，则称G为a与b的等差中项?2G=a?b
?
??2n?p?q?2an?ap?aq?
若{a}是等差数列，则?n
性质：? ???m?n?p?q?am?an?ap?aq
?
?构成公差公差kd的等差数列?若{an}是等差数列，则am、am?k、am?2k、am?3k、
?若{a}、{b}是等差数列,则{?a+?}、{?an+?bn}是等差数列nnn?
2、等差数列的前n项和的公式： Sn?
等差数列的前n项和的性质：
n?a1?an?n?n?1?
?na1?d?pn2?qn 22
??S偶?S奇?nd
??*若项数为2nn??，则S?na?a，??an???S奇2nnn?1???S???偶an?1（1） ?
?S奇?S偶?an?
??若项数为2n?1?n??*?，则S?2n?1a，S?naS?n?1a，????n2n?1nn偶n?S奇奇
???S??偶n?1?
?Sm，S2m?Sm,S3m?S2m成等差数列?（2） ?S
n
?{是等差数列?n
若等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn,,则
anS2n?1
?
bnT2n?1
（3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
?ak?0?a1?0
①若?，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足?
d?0a?0??k?1
?ak?0?a1?0②若?，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足?
d?0a?0??k?1
三、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比．
1、通项公式及其性质
?an?a1qn?1?amqn?m?
若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则?n?1ann?man．
?q?a,q?a
1m?
?a，G，b成等比数列，则称G为a与b的等比中项?G2?ab
?2
???2n?p?q?an?ap?aq
性质：若 ?{an}是等比数列，则?
?m?n?p?q?am?an?ap?aq??
?
?成公比qk的等比数列?am、am?k、am?2k、am?3k、
2、前n项和及其性质
?na1?q?1?,(q?1)
?
． Sn??a1?1?qn?a?aqa?aqn
a1na1n1n11
????q???Aq?A,?q?1??
1?q1?q1?q1?q1?q?
?Sn?m?Sn?qn?Sm?
?Sn、S2n?Sn、S3n?S2n成等比数列?
． 性质?S偶
?若项数为2n，则S?q
奇?
??Sm，S2m?Sm,S3m?S2m成等比数列
??n?1??S1
;（检验a1是否满足an?Sn?Sn?1） 四、(1)an与Sn的关系：an??
S?Sn?2??n?1??n
n(n?1)?
1?2?3???n??2?
n(n?1)(n?2)?2222
(2)?1?2?3???n?
6?
?333n2(n?1)23?1?2?3???n??4
五、一些方法
1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法
（1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列）； （2）an?an?1?f(n),累加消元;
an
?f(n),累乘消元。 an?1
（3）
an11
?an?1,(倒数构造等差:???k)； an?kanan?1an?an?1?anan?1,(两边同除构造等差11
??1)； anan?1
（4）an?kan?1?b,化为(an?x)?k(an?1?x)构造等比
an?qan?1?pn?r（构造等比数列：,an?xn?y?q?an?1?x?n?1??y?）
an?qan?1?pn，化为
anqan?1q
??1，分是否等1讨论。 nn?1pppp
3、求前n项和的常见方法
公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和
数列知识点
一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列；通项公式an；前n项和公式Sn
二、任意数列的通项an与前n项和Sn的关系：an
若a1满足由an
?S1(n?1)
??
?Sn?Sn?1(n?2)
； 若不满足，则数列的通项应分段表示。 ?Sn?Sn?1推出的an，则需要统一“合写”
三、等差数列
1、等差数列及等差中项定义
注：根据定义，当我们看到形如：
an?an?1?d、an2?an?12?d、
an?an?1?d、
11??d、anan?1
an?
an?1?an?1
、Sn?Sn?1?d时，应能从中得到相应的等差数列。
2
?a1?(n?1)d、an?ak?(n?k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项)
当d?0时，an是关于n的一次式；当d?0时，an是一个常数。
n(a1?an)n(n?1)
d 3、等差数列的前n项和公式：Sn? Sn?na1?
22
当d?0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0； 当d?0时（a1?0），Sn?na1是关于n的正比例式。 4、等差数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq
2、等差数列的通项公式：an
5、等差数列{an}的公差为d，则任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m为m
2
?Sm、S3m?S2m、??仍为等差数列，公差
。特别地
d。
6、等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列{差数列。
Snd是等差数列，公差为
2nSm
m
、
S2m2m
、
S3m3m
组成等
7、两个等差数列{an}与{bn}的公差分别为d1和d2，则数列{pan9、{an}为等差数列，公差为d，则数列{c10、 在等差数列{an}中： ① 若项数为2n，则S偶
an
?qbn}为等差数列，且公差为pd1?qd2
8、等差数列{an}的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。如a1、a5、a9、?a4n?3
} (c?0)是等比数列，公比为cd。
?S奇?nd
S偶S奇S奇S偶
??
an?1a?a2n
S2n?1?2n?1?n(a1?a2n)
2an
② 若项数为2n?1，则S奇?S偶?an?1
n?1a?a2n?1
S2n?1?(2n?1)?1?(2n?1)?an?1
2n
anS2n?1
?
bnT2n?1
11、两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则
a1?a2n?1
an(2n?1)anS???2n?1） （略证：
b?b2n?1T2n?1bn(2n?1)bn
(2n?1)1
2
(2n?1)
12、在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题 （1）邻项变号法
?am?0
① 当 a1?0、d?0时，满足? 的项数m使得Sm取最大值.
a?0?m?1?am?0
② 当 a1?0、d?0时，满足? 的项数m使得Sm取最小值.
a?0?m?1
（2）利用Sn（d
?0时，Sn是关于n的二次函数）进行配方（注意n应取正整数）
四、等比数列
1、等比数列及等比中项定义： 注：根据定义，当我们看到形如：an
?qan?1、(an?1?an)?q(an?an?1)、an?an?1an?1、(an?1?t)?q(an?t)、
2
Sn?qSn?1应能从中得到相应的等差数列。
2、等比数列的通项公式：
an?a1qn?1 an?akqn?k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an?0)
关于等比数列{an}的单调性： 当q当q当0
?1时，{an}为常数列 当q?0时，{an}为摆动数列；
?1且a1?0时，{an}为递增数列； 当q?1且a1?0时，{an}为递减数列； ?q?1且a1?0时，{an}为递增数列； 当0?q?1且a1?0时，{an}为递减数列；
?1时，Sn?na1 (是关于n的正比例式)；
3、等比数列的前n项和公式：当q
a1?anqa1(1?qn)
当q?1时，Sn? Sn?
1?q1?q
4、等比数列{an}中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq
5、等比数列{an}的公比为q，且Sn数列，公比为q。
m
?0,则任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m?Sm、S3m?S2m、??仍为等比
?an??1?p
6、两个等比数列{an}与{bn}的公比分别为p和q，则数列{an?bn}、?公比分别为pq?、??仍为等比数列，
q?bn??bn?
1
。 q
7、等比数列{an}的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等比数列。如a1、a5、a9、?a4n?3 8、等比数列{an}的公比为q，且an
、
?0，则{logcbn} (c?0且c?1) 是等差数列，公比为logcq。
9、在等比数列{an}中： ① 若项数为2n，则 五、求数列{an}的最大、最小项的方法：
S偶S奇
?q ② 若数为2n?1则，
S奇?a1
S偶
?q
??0?
1、比差法：an?1?an??????0
??0?
例：已知数列{an}的通项公式为：an
??2n2?29n?3，求数列{an}的最大项。
2、比商法：
an?1an
??1?
????1 (an?0)
??1?
9n(n?1)
例：已知数列{an}的通项公式为：an?，求数列{an}的最大项。
10n
3、利用函数的单调性：an?f(n) 研究函数f(n)的增减性
例：已知数列{an}的通项公式为：an
?
n?20xxn?20xx
，求数列{an}的最大项。
六、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。
例：已知数列{an}的通项为：an例：在等差数列列
?2n?3n，求Sn
2、错位相减法：利用等比数列前n项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。
?bn?的通项bn和前n项和Sn
?an?中，a1?1，d?2，依次抽取这个数列的第1，3，32，??，3n?1项，组成数列?bn?，求数
?(2n?1)2n，求Sn
说明：（1）一般地，如果数列?an?是等差数列，?bn?是等比数列且公比为q，求数列?an?bn?的前n项和时，可采用这一
例：已知数列{an}的通项为：an
思路和方法。具体做法是：乘以常数q，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。
要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。
（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn式；
3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。
?qSn”的表达
111111
?(?)、?(n?k?n)
n(n?k)knn?kn?k?nk
1
例：已知数列{an}的通项为：an?，求前n和Sn
n(n?1)
常见裂项有：
例：在等差数列{an}中a1
?2、a3?8，若bn?
1an?1?an
，求数列的{bn}前n和Tn
4、倒序相加法：利用等差数列前n项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。 例：{an}中，已知an5、有关绝对值的问题：
?
cosn?
，求S60的值
cos(n??30?)
例：在等差数列{an}中a1
??20、d?2，
（1）求数列{an}前n和Sn；（2）求数列{|an七、由数列递推关系式求通项公式。 1、利用等差等比定义求通项公式； 2、用累加法求an?1
|}前n和Tn；
?an?f(n)型通项；
3、用累乘法求an?f(n)?an?1型通项
4、用构造等比数列求an?Aan?1?B型数列通项； 5、通过Sn求an；
6、取倒数转化为等差数列