极限计算方法总结
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。
说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的
极限严格定义证明,例如:;
;
;等等
(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。
2.极限运算法则
定理1已知,
都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有 (1)
(2)
(3)
说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
3.两个重要极限
(1)
(2);
说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。
例如:,
,
;等等。
4.等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理3当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
~
~
~
~
~
~
。
说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(
),仍有上面的等价
关系成立,例如:当时,
~
;
~
。
定理4如果函数都是
时的无穷小,且
~
,
~
,则当
存在时,
也存在且等于
,即
=
。
5.洛比达法则
定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和
满足:(1)
和
的极限都是0或都是无穷大;
(2)和
都可导,且
的导数不为0;
(3)存在(或是无穷大);
则极限也一定存在,且等于
,即
=
。
说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“
”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。
6.连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数
的定义去间内的一点,则有
。
7.极限存在准则
定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。
定理8(准则2) 已知为三个数列,且满足:
(1)
(2),
则极限一定存在,且极限值也是a,即
。
二、求极限方法举例
1.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限
例1
解:原式=。
注:本题也可以用洛比达法则。
例2
解:原式=。
例3
解:原式。
2.利用函数的连续性(定理6)求极限
例4
解:因为是函数
的一个连续点,
所以 原式=。
3.利用两个重要极限求极限
例5
解:原式=。
注:本题也可以用洛比达法则。
例6
解:原式=。
例7
解:原式=。
4.利用定理2求极限
例8
解:原式=0 (定理2的结果)。
5.利用等价无穷小代换(定理4)求极限
例9
解:~
,
~
,
原式=
。
例10
解:原式=。
注:下面的解法是错误的:
原式=。
正如下面例题解法错误一样:
。
例11
解:,
所以, 原式=。(最后一步用到定理2)
6.利用洛比达法则求极限
说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。
例12(例4)
解:原式=。(最后一步用到了重要极限)
例13
解:原式=。
例14
解:原式==
。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)
例15
解:
例18
解:错误解法:原式=。
正确解法:
应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。
例19
解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:
,此极限
不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:
原式=(分子、分母同时除以x)
=(利用定理1和定理2)
7.利用极限存在准则求极限
例20 已知,求
解:易证:数列单调递增,且有界(0<
<2),由准则1极限
存在,设
。对已知的递推公式
两边求极限,得:
,解得:
或
(不合题意,舍去)
所以。
例21
解: 易见:
因为,
所以由准则2得:。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,由于不常用,这里不作介绍。
极限与连续的62个典型习题
习题1设,求
.
解记,则有
,
.另一方面
.
因为,故
.利用两边夹定理,知
,其中
.
例如.
习题2求.
解
,
即
.
.
利用两边夹定理知
.
习题3求.
解
习题4求.
解(变量替换法)令,则当
时,
于是,
原式.
习题5求.
解(变量替换法)令,
原式
.
习题6求(
型)。
为了利用重要极限,对原式变形
习题7求 . 解 原式
.
习题8求. 解 由于
.
而
.故
不存在。
习题9研究下列极限 (1).
∵ 原式,其中
,
. ∴ 上式极限等于0,即
.(2)
.
因为 ,
, 所以
.
(3). 原式
.
习题10计算.
解原式
.
习题11
.
习题12已知,求
的值。
解首先,∴
原式,
∴,而
.
习题13下列演算是否正确?
.
习题14求.
解原式
.
习题15求.
解 ∵,
,原式 = 0.
习题16证明(
为常数)。
证(令
)
.
习题17求.
解原式.
习题18求. 解 (连续性法)
原式
.
习题19试证方程(其中
)至少有一个正根,并且它不大于
.
证设,此初等函数在数轴上连续,
在
上必连续。∵
而
若
,则
就是方程
的一个正根。
若,则由零点存在定理可知在
内至少存在一点
,使
.即
故方程至少有一正根,且不大于
.
习题21求.
解原式.
习题20设满足
且
试证
证取
使得当
时有
即
亦即
于是递推得
从而由两边夹准则有
习题22用定义研究函数的连续性。
证首先,当是连续的。同理,当
也是连续的。而在分段点
处
故
习题23求证.
证∵,而
.由两边夹定理知,原式成立.
习题24设任取
记
试证
存在,并求极限值。
证
故
由题设
由于
故
单调有下界,故有极限。设
由解出
(舍去
)。
习题25设求
解 显然有上界
,有下界
当
时
即
假设
则
故
单增。
存在。设则由
得
即
(舍去负值)。当
时,有
用完全类似的方法可证单减有下界
,同理可证
习题26设数列由下式给出
求
解不是单调的,但
单增,并以3为上界,故有极限。设
单减,并以2为下界,设
在等式
两边按奇偶取极限,得两个关系
,解出
由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等,因此
的极限存在,记
于是
故有
解出
(舍去负值
)
习题27设试证
收敛,并求极限。
证 显然假设
则由
,可解出
(舍去
)。下面证明
收敛于
由于
,
递推可得
由两边夹可得
故
习题28设试证
(1)存在;(2)当
时,
当
时,
证显然有
又
单减有下界。
收敛。令
在原式两边取极限得
由此可解出
或
当
时,
归纳假设
则
而
,有
因此
时
即
时)。
当时,由
的单减性便知即当
时,即
(当
时)。
习题29
习题30若收敛,则
证收敛,设
故
必有界。设
因此
而
习题31求
变量替换求极限法
(为求有时可令
而
)
习题32求(
为自然数)
解 令则
因此
习题33求
解 令且当
时
故 原式
习题34求
解 先求令
则上式
故原式
用等价无穷小替换求极限
习题35求
解 记
原式=
=
习题36设与
是等价无穷小,
求证
(1)(2)
证即
其中故
(2)
习题37设为自然数,
试证
使
证 (分析:要证使
即要证
有根
) 令
,显然在
上连续,于是
记
则
又
对函数
应用介值定理,知
使
即存在
使
习题38设证明
使
证 (分析:将结果变形)
记则
于是
或
由介值定理知
即
习题39设且
证
使
证 反证法。若不存在点使
即
均有
连续,不妨设恒有
于是
此与
矛盾。故
使
习题40设且
又
证明至少有一点
使
证故
在
上有最大值
和最小值
,使
于是
由介值定理,知
使
习题41证明方程至少有一个小于1的正根。
证 设显然
但
使
即方程
至少有一个小于1的正根
存在。
习题42设连续,求
解
故由于
在=1,-1处连续,所以
习题43试证方程至少有一个实根。
证 做函数显然
使
即
在
内必有实根。
习题44求的连续区间。
(解:先改写为分段函数,结论为:
习题45求为何值时,函数
,在
上处处连续。
只需讨论分段点处的连续性:
要在
处连续,必有
习题46设,定义
求
解有下界
即
有
又
,即
单减有下界,故有极限。设
且
有
有
(舍去负根)(注意:先证明极限的存在是必要的。)
习题47
(解:单增有上界
,可解出极限
)
习题48设且
证明
使
证 若则取
若
则可取
则令
必有
且
由零点定理知
使
即
习题49(选择题)设在
内有定义,
连续且
有间断点,则
(A)必有间断点,(B)
必有间断点,
(C)必有间断点,(D)
必有间断点.
解 选[D]((A) 因的值域可能很小。
(B)反例而
无间断点。
(C)总有定义。
习题50证明方程至少有一个正根,且不超过
证 设而
如果则
即为
的零点.如果
则由介值定理知
使
即
为所求,故原命题成立.
习题51若函数可以达到最大值和最小值,求证
证 设则对任意
有
或有
由
的任意性,可知
习题52设且恒大于零,证明
在
上连续.
证 任取由于
在
处连续且大于
使当
时(若
为左端点,则应为
类似处理
有
可找到
使当
时有
取则当
时,有
故知在
处连续。由
的任意性,知
在
上连续.
习题53设试讨论
在
处的连续性.
解
时,
在
处连续,
时,
为
的跳跃间断点(第一类间断点).当
时
为第二间断点。
习题54设函数问当
在
处连续。 解
即
时,
在
处连续。
习题55求函数的间断点,并判定其类型.
解 因当(
为任一整数)时,
是
的间断点。再细分,当
时,
不存在,故除
处的任何整数都是
的第二类间断点。因
亦即是
的第一类(可去)间断点.
习题56求函数的间断点并判定其类型。
解的分段点为
是
的第一类(跳跃)间断点。当
时,
在点
处,
无意义,故
是
的间断点。因为
是第一类(可去)间断点。显然都是极限为
的第二类间断点。当
时,
在点
时,
没定义,故
是
的间断点。又
不存在,故为第二类间断点。
习题57设函数且
试证
证 因为连续,所以在
上有界。又因为
所以
当时,恒有
取
则存在自然数
使得
.记
,则
且
于是
下面估计上式右边三项的绝对值。
(1)
=
(2)因为在
上有界,即
使
.故
当
时,恒有
(3)因为故
使当
时恒有
综合(1),(2),(3)
取
,则当
时,恒有
习题68若和
为连续周期函数,当
时,有定义,且
证明
证 先证明和
有相同周期。设
的周期为
,则
由于当
时,
即得
,以及
=
现在说明的周期也是
。若不然,则至少存在一个
使
设
的周期为
为任意正整数,
以及
此时恒有
.
但由(*),对充分大的必成立
这显然矛盾(矛盾于
)
下面证明
若结论不真,则至少存在一个
使
记
则
恒有
这与
矛盾。于是
习题61试证
习题62在
点连续。
解
如果函数在连续,则