线性代数(第三章)

第三章线性方程组（P76）

习题3．1引例与线性方程组（P79）

1．写出下列方程组的矩阵形式：

（1）（2）

（3）

解：(1)(2)

(3)

习题3．2齐次线性方程组（P90）

1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解：

（1）

解：

等价方程组:，分别取，得

基础解系：

通解：（C₁，C₂为任意常数）（C₁，C₂为任意常数）

（2）

解：

基础解系：，通解：（C为任意常数）

（3）

解：

等价方程组为：，分别取，得

基础解系：，通解：（C₁，C₂为任意常数）

（4）

解：

等价方程组：，分别取，得

基础解系：

通解：（C₁，C₂为任意常数）

2．取何值时，方程组

（1）只有零解；

（2）有非零解，并求出其通解。

解：

（1）当时，即且时，方程组只有零解。

（2）当时，即或时，方程组有非零解。

当时，

等价方程组：，取自由未知量得通解：

当时，

等价方程组，取自由未知量得通解：

习题3. 3非其次线性方程组（P97）

1．求下列非齐次线性方程组的解：

（1）

解： 对增广矩阵施行初等行变换

取，得通解：

（2）

解：对增广矩阵施行初等行变换

等价方程组：，取，得通解：

2．取何值时，非齐次线性方程组

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解。

解：系数行列式

（1）当且时，，方程组有唯一解。

（2）当时，增广矩阵

。故无解。

（3）当且时，

，故有无穷多解。

3．设

证明该方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下求其通解。

解：方程组的增广矩阵是：

由此可见，方程组有解的充要条件是，而的充要条件是。

当方程组有解时，由

得等价方程组，取，得通解：

4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知为其四个解向量，且

求其通解。

解：设四元非齐次线性方程组为，对应的齐次线性方程组为。已知是的四个解向量，故有。

而满足

即是的解。且不成比例，故线性无关。

又。即的基础解系由两个线性无关的向量组成，

故可作为其基础解系，因此的通解为：

5．设是的个解，证明：仍是的解，其中。

证明：由于是的解，故有

又，则

所以，仍是的解

复习题三（P99）

1．设有线性方程组若，问

（1）系数矩阵的秩是多少？

（2）增广矩阵的秩是多少？

（3）该方程组是否有解？有多少解？

（4）该方程组对应的齐次线性方程组是否有基础解系？

解：（1）

（2）

（3），该方程组有解。有无穷多解

（4），所以该方程组对应的齐次线性方程组有基础解系。

2．确定的值，使方程组

（1） 有唯一的解；（2）无解；（3）有无穷多解。

解：

（1） 当时，，方程组有唯一解。

（2） 没有无解的情况。

（3） 当时，，有无穷多解。

3．已知方阵为三阶非零矩阵，且满足，试求的值。

解：设三阶非零矩阵B按列分块为，不妨设是其非零列，则由

得：

根据A为方阵时，方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式 = 0，

所以。

4．解下列方程组：

（1）

解：（1）

得等价方程组，取，得通解：

或取，代入等价方程组的对应齐次方程组，得到一个基础解系：

，并在等价方程组中令得一个特解：，

故方程组的通解为，

即

（2）

解（2）

，方程组无解。

（3）

解（3）

得等价方程组：，取得：

5．设齐次线性方程组

的系数矩阵的秩为。证明：必有为该齐次线性方程组的一个非零解，其中为的代数余子式。

解：因为系数矩阵A的秩为，所以至少有一个元素的代数余子式不为零，不妨设为的代数余子式，取代入方程组，由行列式的性质得

，

即为该齐次线性方程组的一个非零解。

6．试证：含有个未知量个方程的线性方程组

有解的必要条件是行列式

，

但这个条件不是充分的，试举一例。

证明：必要性：即证“方程组有解”

因为方程组有解，所以（未知量个数），所以阶行列式

行列式为0不是该方程组有解的充分条件，反例：

，但方程组无解。

7．设三维列向量

问取何值时

（1）有的唯一线性表示式，并写出该表示式；

（2）可由线性表出，但表示式不唯一；

（3）不能表示成的线性组合。

解：设，对应的非齐次线性方程组的增广矩阵为

（1）能由唯一线性表示的充要条件，

故当且时，

得，故得唯一表示式：

（2） 当时，

，可由线性表出，但表示式不唯一

（3） 当时，

，即不能表示成的线性组合。

8．设有线性方程组

问：（1）为何值时，方程组无解？

（2）为何值时，方程组有解？

（3）有解时，求其解。

解：对线性方程组的增广矩阵进行初等变换。

(1) 当或或时，方程组无解。

(2) 当,及时，方程组有解.

(3) 当,及时，方程组的增广矩阵

得等价方程组，令，得方程组的通解：

9．设都是阶方阵，且，证明：。

解：设B按列分块为, 则

即，

设方程组的解空间的秩为因此,

故有：

10．设是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的一个基础解系，令

试证该方程组的任一解可表示成如下形式：

其中

解：设是非齐次线性方程组的任一个解，则是对应齐次线性方程组的解，而是方程组的基础解系，故有

所以

令．则得

，其中

11．设含个未知量的非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为是其个线性无关的解，试证它的任一解可表示为

其中

解：首先，对于满足的任意实数，有

，

因此是方程组的解．

其次，作向量，则是对应

齐次方程组的解，且向量组线性无关，因为，若等式

成立，即

由题设线性无关，因此，故线性无关，因此是方程组的基础解系，故方程组的任一解向量可表示为

其中，即