立体几何多面体与外接球问题专项归纳

1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是()

A.16π B.20π C.24π D.32π

2、一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()

A.3π B.4π C.3π D.6π

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

4.一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()

A.3π B.4π C.3π D.6π

历届高考外接球内切球问题

1.（陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A．B．C．D．

2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于（ ）

A．B．C．D．

3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为（ ）

A．6B．7C．8D．9

4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）

A．B．C．D．

5.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）

A.2B.C.D.

6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )

A. 1∶B. 1∶3 C. 1∶3D. 1∶9

7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为( )

A．B．C．D．

8.（2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2，3，则此球的表面积为( )

A．B．C．D．

9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四

棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为cm².

A．B．C．D．

10.（20##辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱

锥的侧面积是________．

答案

11.（辽宁省抚顺一中20##届高三数学上学期第一次月考）

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是.

答案

12.（20##枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，

则该几何体外接球的表面积为（）

A ．B ．

C．D．以上都不对

答案C

13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（）

A．B．2π C．4π D．

14、球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

15、在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是

16：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。

17（20##年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

18、（20##年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为.

19、（20##年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.

A.B.C.D.

20（20##年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.

21（20##年全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A.B.C.D.

22（20##年浙江高考题）已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于.

23、已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面ABC的距离.

24、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）

A.B.C.4π D.

25 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.

26 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A.B.C.D.

27 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.

变式1：三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接 球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

28 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，都在同一球面上，则此球的体积为.

第二篇：第十讲 立体几何中的多面体与球

第十讲立体几何中的多面体与球

一．复习目标

1．理解棱柱、棱锥、球的有关概念，掌握其性质；并能运用前面所学知识分析论证多面体与球内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。

2．掌握棱拄、棱锥侧面积体积的计算方法.球的表面积、体积的计算方法，理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法.

二．基础知识

1．棱柱有关的概念

1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

2）棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

3）棱柱的分类：

① 按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，…，n棱柱.

② 按侧棱与底面的位置关系分类:

4）特殊的四棱柱

四棱柱 平行六面体 直平行六面体

长方体 正四棱柱 正方体

5）长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.

由这个定理可以派生出下面的两组重要关系式：对角线与从一个顶点引出的三个面所成的角分别为，则有，

对角线与从一个顶点引出的三条棱所成的角分别为，则有，

6）棱柱的侧面积与体积公式

（1）（其中c为底面周长，h为棱柱的高）

（2）（其中c₁为直截面周长，l为棱柱的侧棱长）

（3）（其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）

2．棱锥有关的概念

1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2）性质

Ⅰ、正棱锥的性质

(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

Ⅱ、一般棱锥的性质

定理 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。

3）棱锥的体积：V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高。

3．球有关的概念

（1）球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球。半圆的圆心叫做球心。连接球心与球上任意一点的线段叫做球半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

（2）球的截面圆的性质：①球心到截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r²=R²－d²。

（3）两点的球面距离的定义：在球面大圆上两点间的劣弧的长度。

注意：①球面上A,B两点球面距离的求法:先求出弦长AB,进而求出球心角AOB的度数,再利用弧长公式求出大圆的劣弧长；②与球有关的结组合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。

（4）球的表面积与体积：S_球面=4πR²，V=4/3πR³。

4．多面体与正多面体

（1）每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。

（2）正多面体有且只有5种。分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

三．题型归类

例1．（1）若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是（ ）

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形

解析：当平面ABC⊥α时，为一条线段，结合选择支，知选D.

（2）长方体AC₁的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C₁沿长方体的表面的最短距离为（ ）

A.1+B.2+C.3D.2

解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.

答案：C

（3）一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是（ ）

答案：B

（4）若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍.

A.4 B.3 C.2 D.1

解析：三球体积之比为1∶8∶27.

答案：B

（5）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）

A.20π B.25π C.50π D.200π

解析：设球的半径为R，则（2R）²=3²+4²+5²=50，∴R=.∴S_球=4π×R²=50π.

答案：C

（6）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）

A.4B.2C.2 D.

解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=，OA=OC知OA=AC<2O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA>O′A.所以O′A

解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2.

因为∠AOB=θ=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2.

解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点.

在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R.

在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=R²+9，所以R=2

点评：1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想.

2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：

（1）计算线段AB的长度；

（2）计算A、B到球心O的张角；

（3）计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长

例2．三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.

解法一：易知内切球球心O到各面的距离相等.

设E、F为CD、AB的中点，则O在EF上且O为EF的中点.

在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=.

解法二：设球心O到各面的距离为R.

4×S×R=V_A—BCD，∵S=×6×4=12， V_A—BCD=2V_C—ABE=6.

∴4××12R=6. ∴R=.

评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.