向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线
上的任意两点，则
为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量： 若向量
所在直线垂直于平面
，则称这个向量垂直于平面，记作
，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为
．
③求出平面内两个不共线向量的坐标
．
④根据法向量定义建立方程组
.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
2、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行。设直线
的方向向量分别是
，则要证明
∥
，只需证明
∥
，即
.
⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面
的法向量是
，则要证明∥，只需证明
，即
.
⑶面面平行。若平面的法向量为，平面
的法向量为
，要证∥，只需证∥，即证
.
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明
，只需证明
，即
.
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明
，只需证明∥，即
.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为
，若
⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证
，只需证
，即证
.
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知
为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为
，则
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为
， 则为的余角或的补角
的余角.即有：
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角
的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线
，则
为二面角的平面角.
如图：
求法：设二面角
的两个半平面的法向量分别为
，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
如果是锐角，则
， 即
；
如果是钝角，则
， 即
.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,
在直线上，
为直线的方向向量，
=
，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于
在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑶直线
与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即
⑷两平行平面
之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，
则两异面直线间的距离
就是在向量方向上投影的绝对值。 即
第二篇：向量法解立体几何题的总结(免费版)
向量法解立体几何题的总结
一、基本工具
1.数量积：
2.射影公式：向量
在
上的射影为
3.直线
的法向量为
，方向向量为
4.平面的法向量（略）
二、考点及对策
高考题主要围绕点线面体之间的关系与度量展开，具体如下：
1. 关系
1.1平行关系
1.1.1线线平行
两线的方向向量平行
1.1.2线面平行线的方向向量与面的法向量垂直
1.1.3面面平行两面的法向量平行
1.2垂直关系
1.2.1线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直
1.2.2线面垂直线与面的法向量平行
1.2.3面面垂直两面的法向量垂直
1.4共面与异面关系
判断直线
与
是否异面：
Step1求两直线的公共法向量
；
Step2判断
（或
）是否与垂直；
Step3若（或）与垂直，则两直线共面；否则，两直线异面.
2. 度量
2.1距离
2.1.1点点距离
点
与
的距离为
2.1.2点线距离（平面上）
求点
到直线
的距离：
Step1在直线上取一点
；
Step2向量
在法向量
上的射影
=
即为点
到
的距离.
2.1.3点面距离
求点到平面
的距离：
step1 在平面上去一点，得向量;
step2 计算平面的法向量;
step3计算在上的射影，即为点
到面的距离.
2.1.4线线距离（共面与异面）
2.1.4.1共面直线距离
转化为点线距离
2.1.4.2异面直线距离
求异面直线
与
的距离：
Step1计算两异面直线的公共法向量；
Step2在异面直线与上分别取一点
与
，得
；
Step3计算在上的射影，即为异面直线与的距离.
2.1.5线面距离
转化为点面距离
2.1.6面面距离
转化为点面距离
2.2夹角
2.2.1线线夹角（共面与异面）
线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角
2.2.2线面夹角
求线面夹角的步骤：
Step1先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；
Step2再求其余角，即是线面的夹角.
2.2.3面面夹角（二面角）
若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
2.3面积与体积
略