概率论与数理统计实验报告

实验目的：

通过matlab解决一些基本的概率论问题，了解matlab中一些概率论课上所学的函数，学会用matlab软件解方程，求积分，计算平均值和方差，求置信区间以及检验假设等等。

实验内容：

第二章

课后习题23.

设随机变量X在区间[0，5]上服从均匀分布，求关于实变量t的二次方程有实根的概率。

解题思路，利用matlab解出不等式的解

程序

solve('4*(x-3)^2>4*x^2')

ans =

Dom::Interval(-Inf, 3/2)

可以得出不等式的解为，在随机变量的定义域内的解是

所以有实根的概率应该为=0.3

第三章

课后习题10.

分子运动的速率X服从麦克斯威尔分布，其概率密度为

其中a（a>0）是常数，设分子的质量为m，求分子的平均动能。

解题思路：运用matlab计算积分

程序

syms x a m

f1=4*x^2/(a^3*sqrt(pi))*exp(-x^2/(a^2))*x^2*0.5*m;

int(f1,x,0,inf)

结果

ans =

(4503599627370496*m*((3*pi^(1/2))/(8*(1/a^2)^(5/2)) + limit(- (a^2*x^3)/(2*exp(x^2/a^2)) - (3*pi^(1/2)*erfc(x*(1/a^2)^(1/2)))/(8*(1/a^2)^(5/2)) - (3*a^4*x)/(4*exp(x^2/a^2)), x = Inf)))/(3991211251234741*a^3)

第四章

课后习题3.

抛掷一均匀硬币1000次，试用切比雪夫不等式估计出现正面的次数在400到600之间的概率

解题思路：求出事件的均值和方差D（X），运用切比雪夫不等式估算概率

程序

s=1000*0.5*(1-0.5);

p=1-s/100^2

结果

p =

0.9750

可以得到概率约为0.9750

第五章

课后习题10.在冰的溶解热研究中，测量从-0.7℃的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到数据如下：

79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04

79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02

试用作变换简化计算样本均值和样本方差。

解题思路：运用matlab中的函数mean()以及var()计算样本的平均值和方差

程序

x=[79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02];

y=100*(x-80);

m=mean(y)

s=var(y)

结果

m =

2.0769

s =

5.7436

我们可以得到随机变量Y的均值为2.0769，方差为5.7436，而因为

所以

由公式我们可以得到=80.020769

=0.00057436

第六章

课后习题27.随机地从甲批导线中抽取4根，从乙批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：）为：

甲批导线： 0.143 0.142 0.143 0.137

乙批导线： 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140

设测试数据分别服从正态分布和，试求的置信度为0.95的置信区间。

解题思路：运用matlab中的函数mean()以及var()计算样本的平均值和方差，用matlab内置的t分布表得到的值，最后运用书上给出的置信区间公式计算

程序：

x1=[0.143 0.142 0.143 0.137];

x2=[0.140 0.142 0.136 0.138 0.140];

t=tinv(0.975,7);

m1=mean(x1);

m2=mean(x2);

s1=var(x1);

s2=var(x2);

s= sqrt((3*s1+4*s2)/7);

d1=(m1-m2)-t*s*sqrt(1/4+1/5)

d2=( m1-m2)+t*s*sqrt(1/4+1/5)

d=[d1 d2]

实验结果

d1 =

-0.0020

d2 =

0.0061

d =

-0.0020 0.0061

可以得到，置信区间为[-0.0020，0.0061]

第七章

课后习题5.已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布且标准差，从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44。问这一天纤度的总体标准差是否正常（α=0.05）

解题思路：运用matlab中内置的假设检验的函数vartest()可以求出总体均值未知时样本方差的接受域。

程序

x=[1.32 1.55 1.36 1.40 1.44];

var0=0.048*0.048;

[h,p,varci]=vartest(x,var0,alpha)

结果

h =

1

p =

0.0181

varci =

0.0028 0.0642

我们假设的方差为0.048*0.048=0.0023。而在α=0.05时样本方差的接受域是[0.0028，0.0642]。所以这一天纤度的总体标准差不正常。

第二篇：概率论与数理统计试卷

上 海 交 通 大 学

概率论与数理统计试卷

姓名:班级:学号:得分:

一 是非题（共7分，每题1分）

1．设,,为随机事件，则与是互不相容的 （ ）

2．是正态随机变量的分布函数，则（ ）

3．若随机变量与独立，它们取1与的概率均为，则（ ）

4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 （ ）

5. 样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计 （ ）

6．在给定的置信度下，被估参数的置信区间不一定惟一 （ ）

7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设而确定的 （ ）

二、选择题（15分，每题3分）

（1）设，则下面正确的等式是。

（ａ）； （ｂ）；

（ｃ）； （ｄ）

（2）离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是。

（ａ）且； （ｂ）且；

（ｃ）且； （ｄ）且.

（3） 设个电子管的寿命()独立同分布，且()，

则个电子管的平均寿命的方差.

（ａ）； （ｂ）； （ｃ）； （ｄ）.

（4）设为总体的一个样本，为样本均值，

为样本方差，则有。

（ａ）； （ｂ）；

（ｃ）； （ｄ）

（5）设为总体(已知)的一个样本，为样本均值，

则在总体方差的下列估计量中，为无偏估计量的是。

（ａ）； （ｂ）；

（ｃ）； （ｄ）.

三、填空题（18分，每题3分）

（1） 设随机事件,互不相容，且，，

则.

（2） 设随机变量服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量的

概率密度函数为.

（3）设随机变量，则概率＝.

（4）设随机变量的联合分布律为

若，则.

（5）设是取自总体的样本，

则当＝时，服从分布，＝.

（6）设某种清漆干燥时间（单位：小时），取的样本，得

样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置

信区间上限为：.

四、计算题与应用题（54分，每题9分）

1.某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.

2.设随机变量的联合密度函数

求 (1)常数A；(2)条件密度函数；(3)讨论,的相关性

3.设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互

独立，试求的密度函数.

4.某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.

5.设总体的概率分布列为：

0 1 2 3

p²2p(1-p)p²1-2p

其中() 是未知参数. 利用总体的如下样本值：

1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3

求 (1)p的矩估计值； (2)p的极大似然估计值 .

6．某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为

1269⁰C 1271⁰C 1263⁰C 1265⁰C

设数据服从正态分布，以% 的水平作如下检验：

(1) 这些结果是否符合于公布的数字1260⁰C？(2) 测定值的标准差是否不超过2⁰C？

五、证明题（6分）

设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明仍服从泊松分布，参数为6.

附表：

标准正态分布数值表分布数值表 t分布数值表

概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案

一. 是非题（7分，每题1分） 是 是 非 非 是 是 是 .

二. 选择题（15分，每题3分） （ｂ）（ａ）（ｂ）（ｄ）（ｃ）.

三. 填空题（18分，每题3分）

1. 4/7； 2.；

3. 0.8446 ； 4. 0.1 ； 5. 1/3 2 ； 6. 上限为 6.356

四. 计算与应用题（54分，每题9分）

1.任取2箱都是民用口罩，

丢失的一箱为k分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.(2分)

， (4分)

(3分)

2.(1) 　(2分)

(２)　　　　　　(2分)

当时，　　　　　(2分)

(３)　

所以与不相关.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)

3.

　　　　　 　　　　　　　　　(2分)

得z轴上的分界点０与２　　　 　　　　　　(2分)

　　 　(2，２，１分)

4.设(2分)

,(2分)

经检验后的次品数，，， (2分)

由中心极限定理，近似地有

(3分)

5.(1)，令， (2分)

得的矩估计为. (2分)

(2)似然函数为

(2分)

令，(1分)

. 由，故舍去

所以的极大似然估计值为(2分)

6.由样本得，. (1分)

(1) 要检验的假设为(1分)

检验用的统计量，

拒绝域为. (2分)

，落在拒绝域内，

故拒绝原假设，即不能认为结果符合公布的数字1260⁰C. (1分)

(2) 要检验的假设为(1分)

检验用的统计量，

拒绝域为(2分)

,落在拒绝域内，

故拒绝原假设，即不能认为测定值的标准差不超过2⁰C. (1分)

五、证明题(6分) [ B卷参数为2与4 ]

由题设，，(1分)

(2分)

(2分)

，

所以仍服从泊松分布，参数为6. (1分)