平行判定总结
一、线线平行的判定
1.定义:在同一平面内,没有公共点的两条直线.
2.平行于同一条直线的两条直线互相平行.
3.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行．
4.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
5.垂直于同一平面的两条直线平行.
二、线面平行的判定
1.定义：直线与平面无公共点.
2.如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线
和这个平面平行．
三、面面平行的判定
1.定义：两个平面没有公共点.
2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面
互相平行．
3. 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行.
垂直判定总结
一、线线垂直
1.定义：两直线所成角为90o.
2.线面垂直的性质：若直线垂直平面，则直线垂直平面内的任何直线.
3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直.
4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线
垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
二、线面垂直
1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条
直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
2. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于
这个平面.
3. 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
三、面面垂直
1.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角平面角是直角，就说两个
平面互相垂直.
2. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
第二篇：高中数学立体几何精华总结
一、平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
4. 三个平面最多可把空间分成8部分.（X、Y、Z三个方向）
二、空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
三、直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
l 若
⊥
，
⊥
，得⊥
（三垂线定理），
得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.
l 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
四、平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面
五、棱锥、棱柱.
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：
（
为底面周长，
是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱住侧面积：
（
是斜棱柱直截面周长，
是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}
{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.
{直四棱柱}
{平行六面体}={直平行六面体}.
⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为
，则
.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则
.
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
②棱锥的侧面积与底面积的射影公式：
（侧面与底面成的二面角为
）
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
3. 球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：
.
②球的体积公式：
附：①圆柱体积：
（
为半径，
为高）
②圆锥体积：
（为半径，为高）
③锥形体积：
（
为底面积，为高）