高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类:
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合
23.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
??反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B或B?A 注意:
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
2实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作ABA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
第 1 页 共 11 页 B(或
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即A?S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) 记作: CSA 即 CSA ={x ? x?S且 x?A}
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合
的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义注意:○
3 函数的定义域、域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○值域要写成
集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈
A }
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A?B” 给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注○
2 解析法:意判断一个图形是否是函数图象的依据;○必须注明函数的定义域;
3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观○
4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特察函数的特征;○
征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。
sinX 2例如: y=2y=2cos(X+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,注意:○是函数的局部性质; 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1 f(x1) (2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取x1,x2∈D,且x1 4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)5 下结论(指出分解和配方);○;○ 函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相 间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那 么f(x)就叫做奇函数. 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,注意:○函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 由函数的奇偶性定义可知,○函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 1 首先确定函数的定义域,并总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相判断其定义域是否关于原点对称;○○ 应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数数的最大(小)值○ y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果x *n?a,那么x叫做a的n次方根(n th root),其中n>1,且n∈N. 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.此时,a的n次方根用符号a表示.式子a叫做根式(radical),这里n 叫做根指数(radical exponent),a叫做被开方数(radicand). 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号a表示,负的n次方根用符号-a表示.正 的n次方根与负的n次方根可以合并成±a(a>0).由此可得:负数没 有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0?0。 注意:当 nn是奇数时,?a(a?0) an?|a|????a(a?0)an?a,当n是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn mn , ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1)a·a r r ?ar?s (a?0,r,s?R); (a?0,r,s?R); rsrs(a)?a(2) (3) (ab)r?aras y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数 (a?0,r,s?R). (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 (exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. (1)在[a,b]上,f(x) ?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或 [f(b),f(a)]; (2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R; ?ax(a?0且a?1),总有f(1)?a; (4)当a?1时,若x1?x2,则f(x1)?f(x2); (3)对于指数函数f(x)二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果a x ?N(a?0,a?1),那么数x叫做以. — 真数,loga a为底..N 的对数,记作:x ?logaN(a— 底数,N ?0,且a?1; N — 对数式) 1 注意底数的限制a说明:○2 ax○ ?N?logaN?x; 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○ 2 自然对数:以无理数e○ 对数式与指数式的互化 . ?2.71828?为底的对数的对数lnN logaN?x 对数式 对数底数 对数 ← ? ax?N ? 指数式 a → 幂底数 ← x → 指数 ← 真数 (二)对数的运算性质 如果a N → 幂 ?0,且a?1,M?0,N?0,那么: 1 loga(M·N)?logaM+logaN; ○ M 2 loga?logaM-logaN; ○ N 3 logaMn?nlogaM (n?R). ○ 注意:换底公式 logab? logcb logca (a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0). 利用换底公式推导下面的结论 (1) logambn? n logabm ;(2) logab? 1 . logba (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 注意:○如:y y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数, x 都不是对数函数,而只能称其为对数型5 ?2log2x,y?log5 函数. 2 对数函数对底数的限制:(a○ ?0,且a?1). 1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); ?(2) 凸; ?0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上 (3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立 的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。 2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即: 方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点. 1、函数零点的概念:对于函数 3、函数零点的求法: y?f(x)的零点: 1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○求函数 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数○ 图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数y?f(x)的y?ax2?bx?c(a?0). 1)△>0,方程ax?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程ax?bx?c?0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程ax?bx?c 点,二次函数无零点. 222?0无实根,二次函数的图象与x轴无交